Jarak titik ke bidang merupakan salah satu topik yang sering dibahas dalam matematika. Konsep ini sangat penting dalam pemodelan objek tiga dimensi dan aplikasi geometri lainnya. Di Brainly, terdapat banyak contoh soal jarak titik ke bidang yang bisa dijadikan referensi untuk belajar. Berikut adalah beberapa contoh soal jarak titik ke bidang di Brainly:
1. Soal 1
Sebuah bidang memiliki persamaan umum Ax + By + Cz + D = 0. Tentukan jarak titik (x0, y0, z0) dari bidang tersebut.
Jawaban:
Untuk menentukan jarak titik ke bidang, kita perlu menghitung jarak antara titik tersebut dengan projeksi titik pada bidang. Projeksi titik pada bidang dapat ditemukan dengan menarik garis tegak lurus dari titik ke bidang dan mencari titik potongnya dengan bidang.
Untuk mencari garis tegak lurus dari titik ke bidang, kita perlu menggunakan vektor normal bidang. Vektor normal dapat ditemukan dengan mengambil koefisien A, B, dan C pada persamaan umum bidang. Misalnya, jika persamaan umum bidang adalah Ax + By + Cz + D = 0, maka vektor normalnya adalah (A, B, C).
Setelah mendapatkan vektor normal, kita dapat mencari persamaan garis tegak lurus dari titik ke bidang. Garis ini memiliki persamaan:
x = x0 + tA
y = y0 + tB
z = z0 + tC
Di sini, t adalah parameter yang dapat kita tentukan dengan mencari titik potong garis dengan bidang. Setelah mendapatkan titik potong tersebut, kita dapat menghitung jarak antara titik awal dan titik potong, yang merupakan jarak titik ke bidang.
2. Soal 2
Tentukan jarak titik (2, 3, 4) dari bidang 2x – y + 3z = 5.
Jawaban:
Pertama-tama, kita perlu mencari vektor normal bidang. Dalam kasus ini, koefisien A, B, dan C pada persamaan umum bidang adalah 2, -1, dan 3, sehingga vektor normalnya adalah (2, -1, 3).
Selanjutnya, kita dapat mencari persamaan garis tegak lurus dari titik ke bidang. Misalkan persamaan garis tersebut adalah:
x = 2 + 2t
y = 3 – t
z = 4 + 3t
Untuk mencari titik potong garis dengan bidang, kita substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan bidang:
2(2 + 2t) – (3 – t) + 3(4 + 3t) = 5
Setelah diselesaikan, kita dapatkan t = -1/2. Substitusi nilai t ini ke dalam persamaan garis untuk mendapatkan titik potong:
x = 2 + 2(-1/2) = 1
y = 3 – (-1/2) = 7/2
z = 4 + 3(-1/2) = 5/2
Jarak antara titik awal dan titik potong dapat dihitung dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik:
d = sqrt((1 – 2)^2 + (7/2 – 3)^2 + (5/2 – 4)^2) = sqrt(5/2)
Jadi, jarak titik (2, 3, 4) dari bidang 2x – y + 3z = 5 adalah sqrt(5/2).
3. Soal 3
Tentukan jarak titik (1, 2, -1) dari bidang yang melalui titik (3, 1, 2) dan tegak lurus dengan vektor (1, -1, 1).
Jawaban:
Karena bidang yang diminta tegak lurus dengan vektor (1, -1, 1), maka vektor normalnya adalah vektor tersebut. Selanjutnya, kita dapat menggunakan persamaan garis tegak lurus dari titik ke bidang untuk mencari titik potong garis dengan bidang.
Persamaan garis tegak lurus dari titik (1, 2, -1) adalah:
x = 1 + t
y = 2 – t
z = -1 + t
Untuk mencari titik potong garis dengan bidang, kita substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan bidang:
(x – 3)(1) + (y – 1)(-1) + (z – 2)(1) = 0
Setelah diselesaikan, kita dapatkan t = 1. Substitusi nilai t ini ke dalam persamaan garis untuk mendapatkan titik potong:
x = 1 + 1 = 2
y = 2 – 1 = 1
z = -1 + 1 = 0
Jarak antara titik awal dan titik potong dapat dihitung dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik:
d = sqrt((2 – 1)^2 + (1 – 2)^2 + (0 – (-1))^2) = sqrt(3)
Jadi, jarak titik (1, 2, -1) dari bidang yang melalui titik (3, 1, 2) dan tegak lurus dengan vektor (1, -1, 1) adalah sqrt(3).
4. Soal 4
Tentukan jarak titik (4, 2, 1) dari bidang yang melalui titik (1, 0, 2) dan (3, 1, -1).
Jawaban:
Untuk menentukan jarak titik ke bidang, kita perlu menghitung jarak antara titik tersebut dengan projeksi titik pada bidang. Projeksi titik pada bidang dapat ditemukan dengan menarik garis tegak lurus dari titik ke bidang dan mencari titik potongnya dengan bidang.
Untuk mencari garis tegak lurus dari titik ke bidang, kita perlu menggunakan vektor normal bidang. Vektor normal dapat ditemukan dengan mengambil cross product dari vektor yang menghubungkan kedua titik pada bidang. Misalnya, jika titik pada bidang adalah (1, 0, 2) dan (3, 1, -1), maka vektor normalnya adalah:
(3 – 1, 1 – 0, -1 – 2) x (1 – 3, 0 – 1, 2 + 1) = (-3, 7, -3)
Setelah mendapatkan vektor normal, kita dapat mencari persamaan garis tegak lurus dari titik ke bidang. Garis ini memiliki persamaan:
x = 4 – 3t
y = 2 + 7t
z = 1 – 3t
Di sini, t adalah parameter yang dapat kita tentukan dengan mencari titik potong garis dengan bidang. Setelah mendapatkan titik potong tersebut, kita dapat menghitung jarak antara titik awal dan titik potong, yang merupakan jarak titik ke bidang.
Untuk mencari titik potong garis dengan bidang, kita substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan bidang:
(4 – 3t – 1)(-1) + (2 + 7t – 0)(2) + (1 – 3t – 2)(1) = 0
Setelah diselesaikan, kita dapatkan t = 1/2. Substitusi nilai t ini ke dalam persamaan garis untuk mendapatkan titik potong:
x = 4 – 3(1/2) = 5/2
y = 2 + 7(1/2) = 9/2
z = 1 – 3(1/2) = 0
Jarak antara titik awal dan titik potong dapat dihitung dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik:
d = sqrt((5/2 – 4)^2 + (9/2 – 2)^2 + (0 – 1)^2) = sqrt(29/2)
Jadi, jarak titik (4, 2, 1) dari bidang yang melalui titik (1, 0, 2) dan (3, 1, -1) adalah sqrt(29/2).
5. Soal 5
Tentukan jarak titik (1, -2, 3) dari bidang x – 2y + 3z = 6.
Jawaban:
Pertama-tama, kita perlu mencari vektor normal bidang. Dalam kasus ini, koefisien A, B, dan C pada persamaan umum bidang adalah 1, -2, dan 3, sehingga vektor normalnya adalah (1, -2, 3).
Selanjutnya, kita dapat mencari persamaan garis tegak lurus dari titik ke bidang. Misalkan persamaan garis tersebut adalah:
x = 1 + t
y = -2 – 2t
z = 3 + 3t
Untuk mencari titik potong garis dengan bidang, kita substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan bidang:
(1 + t) – 2(-2 – 2t) + 3(3 + 3t) = 6
Setelah diselesaikan, kita dapatkan t = -1. Substitusi nilai t ini ke dalam persamaan garis untuk mendapatkan titik potong:
x = 1 – 1 = 0
y = -2 – 2(-1) = 0
z = 3 + 3(-1) = 0
Jarak antara titik awal dan titik potong dapat dihitung dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik:
d = sqrt((0 – 1)^2 + (0 – (-2))^2 + (0 – 3)^2) = sqrt(14)
Jadi, jarak titik (1, -2, 3) dari bidang x – 2y + 3z = 6 adalah sqrt(14).
6. Soal 6
Tentukan jarak titik (1, 1, 1) dari bidang yang melalui titik (2, -1, 3) dan paralel dengan vektor (1, 2, 1).
Jawaban:
Karena bidang yang diminta paralel dengan vektor (1, 2, 1), maka vektor normalnya juga paralel dengan vektor tersebut. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan vektor (1, 2, 1) sebagai vektor normal bidang.
Selanjutnya, kita dapat mencari persamaan garis tegak lurus dari titik ke bidang. Misalkan persamaan garis tersebut adalah:
x = 1 + t
y = 1 + 2t
z = 1 + t
Untuk mencari titik potong garis dengan bidang, kita substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan bidang:
(2 – (1 + t))(1) + (-1 – (1 + 2t))(2) + (3 – (1 + t))(1) = 0
Setelah diselesaikan, kita dapatkan t = 5/6. Substitusi nilai t ini ke dalam persamaan garis untuk mendapatkan titik potong:
x = 1 + 5/6 = 11/6
y = 1 + 2(5/6) = 17
