Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya di Brainly

Induksi matematika adalah sebuah metode pembuktian matematis yang sering dipakai untuk membuktikan sebuah pernyataan yang berlaku pada semua bilangan bulat positif. Materi ini biasanya diperkenalkan pada kelas 11 SMA. Untuk membantu siswa dalam memahami konsep ini, berikut adalah beberapa contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya di Brainly.

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, maka pernyataan berikut benar:

1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

Jawaban:

Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita lakukan induksi pada n. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n=k.

Artinya:

1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2

Selanjutnya, kita ingin membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1.

Artinya:

1 + 2 + 3 + … + (k+1) = (k+1)(k+2)/2

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

– Tambahkan k+1 ke kedua ruas persamaan:

1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)

– Sederhanakan ruas kanan:

1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) = (k+1)(k+2)/2

Dengan demikian, pernyataan tersebut benar untuk n=k+1. Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

Contoh Soal 2

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, maka pernyataan berikut benar:

1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6

Jawaban:

Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita lakukan induksi pada n. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n=k.

Artinya:

1² + 2² + 3² + … + k² = k(k+1)(2k+1)/6

Selanjutnya, kita ingin membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1.

Artinya:

1² + 2² + 3² + … + (k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

– Tambahkan (k+1)² ke kedua ruas persamaan:

1² + 2² + 3² + … + k² + (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²

– Sederhanakan ruas kanan:

1² + 2² + 3² + … + k² + (k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

Dengan demikian, pernyataan tersebut benar untuk n=k+1. Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

Contoh Soal 3

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n>1, maka pernyataan berikut benar:

1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²

Jawaban:

Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita lakukan induksi pada n. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n=k.

Artinya:

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Selanjutnya, kita ingin membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1.

Artinya:

1 + 3 + 5 + … + (2(k+1)-1) = (k+1)²

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

– Sebelumnya, kita dapat menuliskan 1 + 3 + 5 + … + (2(k+1)-1) sebagai:

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1)

– Gunakan asumsi induksi pada 1 + 3 + 5 + … + (2k-1):

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

– Substitusikan hasil dari asumsi induksi ke persamaan sebelumnya:

1 + 3 + 5 + … + (2(k+1)-1) = k² + (2k+1)

– Sederhanakan ruas kanan:

1 + 3 + 5 + … + (2(k+1)-1) = (k+1)²

Dengan demikian, pernyataan tersebut benar untuk n=k+1. Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n>1.

Contoh Soal 4

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, maka pernyataan berikut benar:

2ⁿ > n²

Jawaban:

Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita lakukan induksi pada n. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n=k.

Artinya:

2^k > k²

Selanjutnya, kita ingin membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1.

Artinya:

2^k+1 > (k+1)²

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

– Kita dapat menuliskan 2^k+1 sebagai 2 x 2^k:

2^k+1 = 2 x 2^k

– Substitusikan hasil dari asumsi induksi untuk k²:

2^k+1 > 2k²

– Sederhanakan ruas kanan:

2^k+1 > k² + k²

– Karena k² > 2k + 1 untuk k > 2, maka k² + k² > (k+1)²:

2^k+1 > (k+1)²

Dengan demikian, pernyataan tersebut benar untuk n=k+1. Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

Contoh Soal 5

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, maka pernyataan berikut benar:

3ⁿ > n²

Jawaban:

Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita lakukan induksi pada n. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n=k.

Artinya:

3^k > k²

Selanjutnya, kita ingin membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1.

Artinya:

3^k+1 > (k+1)²

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

– Kita dapat menuliskan 3^k+1 sebagai 3 x 3^k:

3^k+1 = 3 x 3^k

– Substitusikan hasil dari asumsi induksi untuk k²:

3^k+1 > 3k²

– Karena k² > 2k + 1 untuk k > 2, maka 3k² > 3(k+1)²:

3^k+1 > 3(k+1)²

Dengan demikian, pernyataan tersebut benar untuk n=k+1. Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

Contoh Soal 6

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, maka pernyataan berikut benar:

n³ > n²

Jawaban:

Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita lakukan induksi pada n. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n=k.

Artinya:

k³ > k²

Selanjutnya, kita ingin membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1.

Artinya:

(k+1)³ > (k+1)²

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

– Ekspansi (k+1)³:

(k+1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1

– Substitusikan hasil dari asumsi induksi untuk k³:

(k+1)³ > k² + 3k² + 3k + 1

– Sederhanakan ruas kanan:

(k+1)³ > k² + 2k² + k² + 3k + 1

– Karena k>0, maka k² > 3k + 1:

(k+1)³ > k² + 2k² + k² + 3k + 1 > (3k+1) + 2k²

– Karena k² > 2k+1 untuk k > 1, maka k² + 2k² > 3k+1:

(k